Deret Bilangan

Selanjutnya kita akan mempelajari kelanjutan dari Barisan Bilangan, yaitu Deret Bilangan. Seperti yang dijelaskan sebelumnya bahwa barisan bilangan dapat kita tuliskan sebagai U₁,U₂, U₃, U₄… U_n . Jika suku-suku pada barisan tersebut kita jumlahkan maka penjumlahan suku-suku barisan disebut dengan Deret Bilangan. 

Deret Bilangan dapat dituliskan sebagai 

S_n=U₁ + U₂ + U₃ +U₄ + … + U_n

Karena ada 2 jenis barisan yaitu Barisan Aritmatika dan Barisan Geometri, maka ada 2 jenis deret juga yaitu Deret Aritmatika dan Deret Geometri.

Deret Aritmatika

Sebelumnya kita sudah mendapatkan rumus sukuk ke-n barisan aritmatika adalah
U_n = a +(n-1)  x b

Selanjutnya mari kita dapatkan rumus Deret Aritmatika (S_n)

Rumus umum yang kita ketahui
S_n=U₁ + U₂ + U₃ +U₄ + … + U_n

Maka
S_n =U₁ + U₂ + … +U_n-1  + U_n
S_n =a + a + b + … + a + (n-2)x b+ a + (n-1)x b ……………..(1)
S_n = a + (n-1) x b + a +(n-2) x b + … + a + b + a……………… (2)

Mari kita jumlahkan persamaan (1) dan (2) dan perhatikan tulisan yang sewarna ya..

2S_n= a+ a +(n-1)x b+a+b+a+n-2x b +…+a+(n-2)x b+a+b+a+(n-1)x b+a

2S_n= a+a+(n-1)x b+a+a+(n-2+1)x b +…+a+a+(n-2+1)x b++a+a+(n-1)x b

2S_n=a+a+(n-1)x b+a+a+n-1x b +…+a+a+(n-1)x b+a+a+(n-1)x b

Karena U_n = a +(n-1)  x b maka
2S_n = a+U_n+a+U_n +…+a+U_n+a+U_n (Sebanyak n)
2S_n = (a+ Un) x n

Atau dengan kata lain
S_n = (a+ Un) x n / 2

 

Contoh Soal 1

Terdapat barisan seperti ini : 5 , 8 , 11 , ….. Tentukanlah Deret 15 suku pertama dari barisan tersebut!

Jawaban : 

Pertama kita harus cari dulu suku ke 15 barisan tersebut ( dengan b=3 )

U_n = a +(n-1)  x b
U₁₅ =5+(15-1) x 3
U₁₅ =5+14 x 3
U₁₅ =5+42
U₁₅ =47

Maka 
S_n = (a+ Un) x n / 2
S₁₅ =( 5+47 ) x 15 / 2
S₁₅ =52 x 15 / 2
S₁₅ =780 / 2
S₁₅ =390

Jadi Deret 15 suku pertama barisan tersebut adalah 390.

Deret Geometri

Sebelumnya kita sudah mendapatkan rumus sukuk ke-n barisan geometri adalah
Un=a  r^n-1

Selanjutnya mari kita dapatkan rumus Deret Geometri (Sn)

Rumus umum yang kita ketahui
S_n=U₁ + U₂ + U₃ +U₄ + … + U_n

Maka
S_n =U₁ + U₂ + … +U_n-1  + U_n
S_n=a+a  r^2-1+a  r^3-1+…+a  r^n-1
S_n=a+a r+a  r²+…+a  r^n-1    ………………… (1)

Kedua ruas kiri dan kanan kita kalikan dengan  r sehingga menjadi
r S_n=a  r+a r² +a  r³+…+a rⁿ      ……………….(2)

Kemudian kita kurang persamaan (2) dan persamaan (1)

r S_n=      a r+a r² +…+a  r^n-1+a rⁿ
S_n=a+a r+a r²+…+a  r^n-1                –
(r-1)S_n=  a rⁿ – a
(r-1)S_n=  a (r^n-1)

Atau dengan kata lain
S_n=  a (r^n-1) / (r-1)

 

Contoh Soal 2

Hitunglah jumlah 3 suku pertama dari suatu barisan geometri yang suku ketiganya adalah 144 dan suku ketujuhnya adalah 9!

Jawaban :

Pertama kita harus mencari dulu rasio dari barisan ini dengan diketahui U₃=144 dan U₇=9

U3=144	U7=9
ar2=144 ….. (1)	ar6=9 …… (2)

Lalu bandingkan persamaan (1) dan persamaan (2)

ar⁶ / ar² = 9 / 144
r⁴ =1 / 16
r⁴= 1 / 2⁴
r⁴= (1/2)⁴
r=1 / 2

Kemudian kita perlu mencari nilai a
ar²=144
a(1/2)²=144
a(1/4) =144
a = 144 x 4
a =576

Terakhir gunakan rumus S_n geometri untuk mencari Deret 3 suku pertamanya
S_n=  a (r^n-1) / (r-1)
S₄ =  576 ((1/2)³-1) / ((1/2)-1)
S₄ =576 ((1/8)-1) / (- 1/2)
S₄ = -2 x 576 x (-7 /8)
S₄ =1008

Jadi Deret 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah 1008. ~ Suci Utari