Saat belajar tentang bilangan bulat, kamu pastinya juga sudah mempelajari tentang operasi pada bilangan bulat kan? Ada operasi penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian (x), dan pembagian (:) dimana dengan operasi tersebut akan terbentuk bilangan bulat baru. Nah begitu juga pada himpunan juga terdapat beberapa operasi yang berlaku pada himpunan dan menghasilkan himpunan baru. 

Ada 4 operasi pada himpunan yang biasanya akan kamu pelajari di tingkat SMP yaitu

1. Irisan himpunan (Intersection)
2. Gabungan himpunan (Union)
3. Komplemen himpunan 
4. Selisih himpunan (Difference)

Mari kita bahas satu persatu ya beserta contoh soalnya.

1. Irisan Himpunan (Intersection)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota yang merupakan anggota himpunan DAN himpunan B. Dilambangkan dengan A∩B dimana A∩B={x|x∈A dan x∈B}. 

Hasil dari operasi irisan himpunan A dan B dapat digambarkan dalam Diagram Venn sebagai daerah kuning, seperti di bawah ini.

Perlu kamu ketahui jika 2 himpunan tidak memiliki irisan atau C∩D= maka disebut dengan himpunan lepas.

Contoh Soal 
Tentukan irisan himpunan A dan B berikut 

1. A={a,b,c,d,e}      B={a,i, u,e,o}     
Maka A∩B={a,e}

2. A={1,2,3,4,5}      B={2,3,5,7,11}     
Maka A∩B={2,3,5}

2. Gabungan Himpunan (Union)

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B, dilambangkan dengan A∪B dimana A∪B={ x∈A atau x∈B}.

Hasil dari operasi gabungan himpunan A dan B dapat digambarkan dalam Diagram Venn sebagai daerah kuning, seperti di bawah ini.

Lalu untuk gabungan himpunan A dan B juga berlaku : 
n(A∪B) =n(A) + n(B) - n(A∩B)

Jika ada 3 himpunan A, B, dan C maka gabungan ketiga himpunan tersebut berlaku :
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)

Contoh Soal 

Sekelompok siswa yang terdiri atas 50 orang, ternyata 30 orang suka makan pisang, 25 orang suka makan buah apel, dan 5 orang tidak suka kedua-duanya.

1. Sajikan permasalahan tersebut dalam diagram Venn
2. Tentukan banyaknya orang yang suka keduanya.

Jawab :

Misal A = himpunan siswa suka makan pisang  >> n(A) = 30
B = himpunan siswa suka makan apel     >> n(B) = 25
S = himpunan semua siswa                       >> n(S) = 50
Banyak siswa yang suka keduanya adalah nA∩B=x

Maka diagram venn dapat digambarkan sebagai berikut

Karena n(S) = 50, maka 

30 - x + x + 25-x + 5 = 50
60 - x =50
x = 10

Jadi banyak siswa yang suka keduanya adalah 10 orang.

 

3. Komplemen Himpunan

Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. 

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan Ac.

Dengan notasi pembentuk himpunan definisi ini dapat dituliskan sebagai berikut 

A^c={x|x∈S dan x∉A}

Hasil dari operasi gabungan himpunan A dan B dapat digambarkan dalam Diagram Venn sebagai daerah kuning, seperti di bawah ini.

Lalu jika P dan Q adalah himpunan berlaku :

• (P∩Q)^c = P^c ∪ Q^c (Hukum De Morgan)
• (P∪Q)^c = P^c ∩ Q^c (Hukum De Morgan)
• P ∩ P^c = ∅
• P ∪ P^c = S
• n(P) +n(P^c) = n(S)

Contoh Soal 

Diketahui S himpunan semesta dari A, maka tentukan A^c

1. S = { bilangan ganjil kurang dari 20} dan A = {1,3,..,9}
2. S = {1,2,3,4,5,6,7}  dan A = {1,3,5,7}

Jawab : 

1. S = {1,3,5,7,…,17,19} dan A = {1,3,5,7,9}, maka A^c = {11,13,15,17,19}
2. A^c = {2,4,6}

 

4. Selisih Himpunan (Difference)

Selisih B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A – B. Dapat dituliskan dengan A-B=x∈A dan x∉B=A∩Bc

Diagram Venn A – B sebagai berikut :

Perlu kamu ketahui bahwa untuk sembarang himpunan A dan B berlaku

• Jika A∩B=∅, maka A – B = A dan B – A = B
• Jika AB, maka A-B=∅

Contoh Soal 

Diketahui
A = {2,4,6,8,10}
B = {1,3,5,7,9}
C = {2,3,5,7}
D = {2,6,8}

Tentukan himpunan dari : 

1. B – C 
2. A – B
3. B – A
4. A – D
5. D – A

Jawab :

1. B – C = {1,3,5,7,9} – {2,3,5,7} = {1,9}
2. A – B = {2,4,6,8,10} – {1,3,5,7,9} = {2,4,6,8,10}
3. B – A = {1,3,5,7,9} – {2,4,6,8,10} = {1,3,5,7,9}
4. A – D = {2,4,6,8,10} – {2,6,8} = {4,10}
5. D – A = {2,6,8} – {2,4,6,8,10} = {  } ~Suci Utari