Deret tak hingga adalah suatu deret geometri dengan banyak unsur atau suku-suku tak hingga. Pada penjumlahan deret tak hingga, ada dua istilah yaitu :

1. Divergen merupakan deret dengan syarat nilai rasio : r < -1 atau r>1, artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil ∞ atau -∞.
2. Kovergen merupakan deret dengan syarat nilai rasio : -1< r <1, artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu.

Berikut adalah Rumus deret tak hingga beserta contoh soal dan pembahasan :

Keterangan :
S = Jumlah tak hingga
S_{∞ ganjil} = Jumlah tak hingga suku-suku ganjil
S_{∞ genap} = Jumlah tak hingga suku-suku genap
a = suku pertama
r = rasio (U_n / U_n-1) , syarat : -1< r <1

Contoh Soal 1

Tentukan hasil penjumlahan dari deret tak hingga berikut : 

1. 2 + 6 + 18 + 54 +…

2. 4 + 2 + 1 + ¹/₂ +…

3. 2 -4 + 8 - 16 +…

Penyelesaian :

1. r = u₂ / u₁= ⁶/₂ =3 > 1. Karena r>1 , maka deret ini merupakan deret divergen dengan hasil  ∞.

2. r = u₂ / u₁=²/₄= ¹/₂. Karena -1< r <1,  maka ini merupakan deret konvergen, maka  S_∞=^a /_1-r = 4 / (1 - ¹/₂) = 4 / (¹/₂) = 8

3. r = u₂ / u₁= -⁴/₂ = -2. Karena r<1, maka deret ini merupakan deret divergen dengan hasil -∞.

 

Contoh Soal 2

Deret Geometri tak hingga mempunyai jumlah 8, sedangkan jumlah suku-suku yang berindeks ganjil pada deret itu adalah ¹⁶/₃. Hitunglah rasio dan suku pertamanya.

Diketahui :

S=8, S_{∞ ganjil}=¹⁶/₃

Ditanya :

r=… , a=…

Penyelesaian :

Subtitusi r ke rumus deret tak hingga

^a/_1-r = 8 → a / (1 - ¹/₂)= 8 → a=4

Jadi, rasio dan suku pertama adalah 12 dan 4.

 

Contoh Soal 3

 Sebuah bola yang jatuh dari ketinggian 10 m memantul kembali dengan ketinggian ³/₄ kali tinggi sebelumnya. Bola memantul terus-menerus sampai berhenti. Tentukan panjang lintasan bola.

                             

Jadi, Panjang lintasan adalah S_∞naik+S_∞turun= 40 + 30 =70 m  ~Dewi